ParÇali Fonksİyonlar:

İsimli konu WH 'Bilgisayar' kategorisinde, Kyren üyesi tarafından 1 Mart 2008 tarihinde yazılmıştır. ParÇali Fonksİyonlar: hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. PARÇALI FONKSİYONLAR:
    Tanım kümesinin alt aralıklarında ayrı birer fonksiyon olarak tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir.Örneğin;
    ise
    alt aralıkların uç noktaları olan x=a , x=b ... noktalarına parçalı fonksiyonun kritik noktaları; f(x) , g(x) , h(x) .
    fonksiyonlarına da fonksiyonun dalları denir.
    NOT:



    Örnek 1 . şeklinde tanımlanan f, fonksiyonu için f(-2) , fof(0) değerlerini hesaplayınız.
    Örnek 2 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Örnek 3 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Örnek 4 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Örnek 5. ise ve olduğuna göre, (6f+3g) (0)=?
    Örnek 6 . , g(x) = x-2 ile tanımlıdır.(fog) (x) = ?
    MUTLAK DEĞER FONKSİYONU:
    bir fonksiyon olsun. olmak üzere,

    kuralı ile tanımlanan fonksiyonuna , f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.
    NOT:




    UYARI:



    ÖZELLİKLER: x , y ve a , b olsun.
    1 . 2 . veya
    3 . 4 . veya
    5 . veya 6 .
    7 . 8 .
    9 . ve 10 . ve
    11 . veya 12 .
    Örnek 1 . ise f(4) değeri nedir?
    Örnek 2 . ve –2 < x < 3 için ifadesinin değeri nedir ?
    Örnek 3 . denklemini sağlayan kaç tane tamsayı vardır ?
    Örnek 4 . denkleminin çözüm kümesi nedir ?
    Örnek 5 . denkleminin çözüm kümesi nedir ?
    ÇÖZÜM:
    x -
    +

    x-2 - -
    +
    x-1 -
    + +
    I) x<1 için ,
    ve Ç =
    II) için ,
    ve Ç = [ 1 , 2]
    III) x>2 için ,
    ve Ç =
    Bu çözüm kümeleri birleştirilirse denklemin çözüm kümesi ; [ 1 , 2] aralığı olur.
    Örnek 6 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Örnek 7 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Örnek 8 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Örnek 9 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Örnek10 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

    Örnek 1 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    i) ve ve olduğundan x+y=2 olur.
    ii) ve ve olduğundan x-y=2 olur.
    iii) ve ve olduğundan -x+y=2 olur.




    iv) ve ve olduğundan -x-y=2 olur.
    Bu fonksiyonları birleştirdiğimizde fonksiyonunun grafiği;
    y
    -x+y=2
    -x-y=2
    2 x-y=2


    -2 2
    0 x


    -2 x+y=2


    Örnek 2 . f:R-{ 1 } fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    olduğundan; yazılır.Buradan,
    x>1 için;
    x<1 için olup,
    dir. Buna göre;
    y

    5


    1

    0 1 x

    Örnek 3. fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Kritik nokta x-3=0 x=3 olur.O halde,
    i) x < 3 ise ,
    ii) x = 3 ise y=2


    iii) x > 3 ise
    parçalı fonksiyonunun grafiği,
    -x+5 y x-1

    5


    2

    0 3 x



    Örnek 4. fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    Kritik nokta olur.
    i) x 0 = olur.
    ii) 0 < x < 1 - ( ) = olur.
    iii) x = olur.
    parçalı fonksiyonunun grafiği,

    y



    1



    0 1 2 x






    İŞARET FONKSİYONU:
    bir fonksiyon olsun . olmak üzere,
    ise
    Şeklinde tanımlanan Sgn f(x) fonksıyonuna f ‘nin işaret fonksiyonu denir ve ‘’ signum f ‘’ biçiminde okunur.

    Örnek 1 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Çözüm 1 . ise olmalıdır.Bu eşitsizliği tablo ile çözersek ;
    için , x = -2 ve x = +2 kritik noktaları bulunur.Buradan ;

    x



    -- -- --
    + + +
    -- -- --
    O halde çözüm kümesi ; Ç = ( -2 , +2 ) bulunur.
    Örnek 2 . denklemini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
    Örnek 3 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 4 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 5 . Sgn ( 2x-3 ) < Sgn ( x+5 ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 6 . için ifadesinin eşiti nedir?
    Örnek 7 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Çözüm7.
    x

    -- --
    + +
    -- --
    + +

    -1 +1 -1 +1
    Tabloya göre grafik çizilirse ; y


    1


    -2 2
    0 x



    -1
    Örnek 8 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 9 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 10 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    TAM DEĞER FONKSİYONU:








    TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ:







    Örnek 1 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Çözüm 1 . yazılır. Buradan;
    bulunur.
    Örnek 2 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Çözüm2 . bulunur.
    Örnek 3 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 4 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 5 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 6 . denkleminin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 7. denkleminin kökü nedir?
    Çözüm7 . olmak üzere olsun.
    olur.Diğer taraftan;

    olduğundan , bu aralıktaki tam sayı n=1 dir. O halde n=1 için
    bulunur.
    Örnek 8 . eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
    Örnek 9 . eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
    Çözüm 9 .
    -2 -1 0 1 2 3 olur.
    TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ:
    şeklindeki fonksiyonların grafiği çizilirken , fonksiyon parçalı hale getirilir.Fonksiyon parçalanırken; tanım kümesi şeklinde parçalanır.
    a<0 ise tam aralıklar soldan açık , sağdan kapalı ,
    a>0 ise tam aralıklar sağdan açık , soldan kapalıdır.
    Pratik olarak ;
    Önce y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
    Y exeni üzerinde tam sayılar alınıp bu sayılardan x – exenine paraleller çizilir.
    Denklemi y = m olan doğruların y = f(x) eğrisini kestiği noktalardan x – exenine dikmeler inilir.
    Denklemi y= m olan doğruların y = f(x) eğrisi ile dikmeler arasında kalan parçalar
    fonksiyonunun grafiğini olşturur.
    Denklemi y= m olan doğruların , eğriyi kestiği noktalar grafiğe dahil dikmeleri kestiği noktalar grafiğe
    dahil değildir.
    Örnek 1 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 2 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 3 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 4. fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 5 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 6 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?

    Çözüm 6 . için
    n=0 için ve
    n=1 için ve
    n=2 için ve Buradan ;
    ise Grafik aşağıdaki gibidir.
    y
    8
    6
    5


    2
    1

    0 1 4 6 x Sezgin EKİCİ
    Matematik Öğretmeni
    Örnek 2 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 3 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Fonksiyonun kritik noktalarından biri –1 ve aralık boyu dir. Buna göre;

    y






    -1 0 1 x


    Örnek 4. fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    Örnek 5 . fonksiyonunun grafiğini çiziniz ?
    FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM ARALIĞI:
    Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş gerçel sayı kümesine, o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.Buna göre;
    1 . olmak üzere polinom fonksiyonlarının en geniş tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir.
    2 . P(x) ve Q(x) gerçel katsayılı polinomlar olmak üzere,
    şeklindeki fonksiyonlar, için tanımlıdır.
    3 . P(x) gerçel katsayılı polinom olmak üzere biçiminde ise
    a) n tek ise fonksiyon R’de tanımlıdır.
    b) n çift ise için tanımlıdır.
    4 . a , 1 den farklı pozitif gerçel sayı ve g(x) > 0 olmak üzere,
    fonksiyonu en geniş tanım kümesine sahiptir.
    Örnek 1. fonksiyonunun tanımlı olduğu en geniş A kümesi nedir?
    Çözüm: Çift kuvvetten kök olduğundan, olmalıdır. O halde;
    olmalıdır.
    Örnek 2. fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
    Çözüm: olmalıdır. olur.
    Örnek 3. fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
    Çözüm: olmalıdır. Buna göre;
    Ç= [0,2] olur.

    Örnek 4. fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
    Çözüm: Fonksiyonun payı polinom olduğundan R de tanımlıdır.O halde paydayı 0 yapan değerleri inceleyelim. olmalıdır.Buradan; Ç= R/[2,3) olur.
    Örnek 5. fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
    Fonksiyon logaritmik olduğundan; olmalıdır.O halde;
    olmamalı ve,x>2 olmalıdır.

    FONKSİYONLARLA İLGİLİ GENEL UYGULAMALAR:
    1) denkleminin çözüm kümesi nedir?
    2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
    3)

    4) f:A B ’ye f={(x,y),(y,t),(1,y),(3,y)} olarak tanımlanıyor. f(x)+f(1) nedir?

    5) f ={(x,y) | x-2y = -2 } bağıntısı ve y= f(x) fonksiyonu veriliyor. f(2)+f -1(2) nedir?

    6) f(3x-2)=2x+3 ise f-1 (-1) kaçtır?

    7) f : R R , f(x) = x3-6x2+12x-8 ise f(12) kaçtır?

    8) f:R R, f(2x-1) = x+1 ise f(8) kaçtır?

    9) f(x) I. dereceden olup f(2x) = 2.f(x) ise f(x2) nedir?

    10) f(3x-2) = 6x+3 ise f(x) nedir?

    11) f : R R, f(x) =2x-3 ise f(x+3) fonksiyonunun f(x) cinsinden değeri hangisidir?

    12) f(x) = 3x-1 ve (fog) (x) = (gof) (x) +3 ise g(x) hangisidir?

    13) x.f(x+1)=m.f(x) koşulunu sağlayan f fonksiyonu veriliyor. f(4)=6, f(3)=9 ise f(2)
    aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    14) f(2x+1) = 4x2+5 ise f(x-1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    15) f(x) = mx+n ve (fof)(x) =4x+9 olduğuna göre m+n kaç olabilir?

    16) R den R ye tanımlanan f(x) = 2x+4 ve (fog)(x) =2x koşullarını sağlayan f ve g fonksiyonları
    veriliyor. g(a) = -7 ise a aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    17) R den R ye f ve g fonksiyonları tanımlanıyor. F(x) = 2x-1 , (gof-1)=3x+2 olduğuna göre
    g-1(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    18) R den R ye f ve g fonksiyonları f(x) = ax+3/4 ve g(x) = 4x-3 biçiminde veriliyor. gof nin birim
    fonksiyon olduğu bilindiğine göre a aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    19) f(x) =2x-5 ve g(x) = olduğuna göre (gof)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
    20) f(x) = olduğuna göre f-1(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    21) f(2x-1)=x2+x+1 , g(x-1)=3x+5 olduğuna göre (fog)(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    22) R den R ye tanımlanan f fonksiyonu için f(x+2)=5x+4vef-1(a-2) = 6 ise a aşağıdakilerden
    hangisine eşittir?

    23) R den R ye tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x)=x2+x-2 ve g(x) = x+1 ise f(x)
    aşağıdakilerden hangisine eşittir?

    24) f(x) = (a-4)x2+bx+c-1 birim fonksiyon ise a+b+c kaçtır?

    25) f(x)=ax2+bx+m-3 sabit fonksiyonunda için f(x)=10 olduğuna göre m kaçtır?

    26) f(x)=(a+1)x2+(b-2)x+1 sabit fonksiyon ise a+b kaçtır?

    27) f(x) = (a-1)x+b-3 ile tanımlı f fonksiyonu veriliyor. f-1(3) =1 ise a+b kaçtır?


    LİMİT KAVRAMI
    Fonksiyonlarda limit kavramını şekildeki grafik üzerinde açıklayalım.















    Benzer biçimde;



    Yukarıdaki grafikte x =1 için y= 4 tür ancak bu değerin limit ile bir ilgisi yoktur.
    Sağdan ve Soldan Limit:
    Tanım:A bir açık aralık ve f A veya A-{a} da tanımlı bir fonksiyon olsun.
    1) x değişkeni a ya sağdan yaklaştığında f(x) fonksiyonu bir k sayısına yaklaşıyor ise
    f nin x=a daki sağdan limiti k dır denir ve
    biçiminde yazılır.
    2) x değişkeni a ya soldan yaklaştığında f(x) fonksiyonu bir l sayısına yaklaşıyor ise
    f nin x=a daki soldan limiti l dır denir ve
    biçiminde yazılır.
    3) x değişkeni a ya soldan ve sağdan yaklaştığında f(x) fonksiyonu aynı bir t
    sayısına yaklaşıyor ise
    f nin x=a daki limiti t dır denir ve bu durum,
    biçiminde yazılır.

    Limit İle İlgili Özellikler:
    f(x) ve g(x) x=a da limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere;
    1) Sabit fonksiyonun limiti c sabit sayısıdır.



    Ör: olur.
    2)


    Ör: bulunur.
    3)


    Ör: bulunur.
    4)



    Ör: bulunur.
    5) m tek doğal sayı olmak üzere;



    Ör: bulunur.
    6)



    7)


    dır.

    8)

    dır.
    9)


    dır.
    10)



    dır.
    1 Mart 2008
    #1
  2. ParÇali Fonksİyonlar: Cevapları

soru sor

ParÇali Fonksİyonlar:

Alakalı Aramalar:

  1. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve gfonksiyonları için (fog)(x)=f(x).g(x) f(x)=2x 3 olduğuna göre g(1)=?

    ,
  2. parcali fonksiyon

    ,
  3. fonksiyon aralık boyu

    ,
  4. parçalı fonksiyon nedir nasil cozulur,
  5. 4 kritik noktasi olan parcali fonksiyon ornekleri